高等数学随记 - 利用双元法求不定积分

高等数学随记考研

字数统计: 753阅读时长: 2 min

 2024/03/19 

前言

双元法是近些年来网络上流传出的一种求解不定积分的新方式，其既有准确得值、计算简便的快捷性，又在传统的第一类、第二类换元积分法的基础上有所创新，给我们提供了另一个视角看待不定积分求解的思维历程. 尤其用在考研时该方法的正确使用亦可在作答试卷时起到事半功倍的效果，特此深入研究了一下该方法，以个人见解对其总结汇集于此.

例题引入

例1. 求.

解1. [第二类换元积分法]

利用三角换元，，则.

则

注意到

$，$

故移项得

$，$

从而

（注意已并入常数项中；由于恒为正，故去掉绝对值符号. ）

解2. [双元虚圆换元法] 令，易得，从而.

故

$，$

移项得

$，$

因，故，由合比定理有（此处绝对值符号可去，原因同解1）.

故

将代入得

方法总结：不定积分的双元换元法

一般地，我们将解不定积分的双元换元法分为两种类型（其中为常实数）：

类型1. 实圆双元：.
类型2. 虚圆双元：.

对于以上两类型双元换元，我们有以下公式（由于常数已在上两式中使用，故接下来积分常数用表示）：

1. 双元第一公式

(1) 对于实圆双元，；
(2) 对于虚圆双元，.

证明. (1) 由于，故

故

$，$

又由于

$，$

故

(2) 因，故，由合比定理有.

故

2. 双元第三公式

(1) 对于实圆双元，；
(2) 对于虚圆双元，.

证明. (1) 类似双元第一公式的证法，

(2) 由于

$，$

故

$，$

故

$，$

故

$，$

故

3. 双元第二公式

注：此公式的形式已在例1中解2的过程中给出，此处总结一般情形.

(1) 对于实圆双元，；
(2) 对于虚圆双元，.

这里每一个结论均有两种证法，其中分部积分法即为例1中解2的过程所用形式.

证明. (1) [证法一 - 分部积分法] 由于

$，$

故移项得

$，$

[证法二 - 二分裂项法]

(2) [证法一 - 分部积分法] 由于

$，$

故移项得

$，$

[证法二 - 二分裂项法]

4. 双元点火公式

注：本公式的用途类似于 Wallis 公式，用于降低被积函数的次数以最终化为双元第一公式或双元第三公式的形式并得出待求式的结果.

对于实圆双元与虚圆双元，均有.

证明. 先证实圆双元.

$，$

移项即得

再证虚圆双元.

$，$

移项即得

方法运用：运用双元换元法求解不定积分

例2. 求，其中为常数.

解. 令，，易得为常数（虚元双元），

则

$，$

依次代入虚元双元的双元第二、第一公式可得

例3. 求，其中为常数.

解. 令，，易得为常数（实元双元），

则

$，$

依次代入实元双元的双元第二、第一公式可得

原文作者：src_resources

原文链接：https://blog.srcres.top/2024/03/19/gdsxsj-syf/

发表日期：March 19th 2024, 3:51:35 pm

更新日期：March 19th 2024, 3:51:35 pm

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1. 前言
2. 例题引入
3. 方法总结：不定积分的双元换元法
4. 方法运用：运用双元换元法求解不定积分